Alexander Melnikov si è diplomato al Conservatorio di Mosca con Lev Naumov. Uno dei momenti più importanti del suo percorso formativo a Mosca è stato l’incontro con Svjatoslav Richter, il quale da lì in poi lo ha regolarmente invitato a vari festival in Russia e Francia.
Ha vinto numerosi premi in concorsi prestigiosi quali l’International Robert Schumann Competition a Zwickau (1989) e il Concours Musical Reine Elisabeth a Bruxelles (1991).
Conosciuto per le sue scelte musicali spesso inconsuete, Alexander Melnikov ha sviluppato sin dal principio della sua carriera un forte interesse per la prassi esecutiva filologica. In questo ambito è stato influenzato dal lavoro compiuto da Andreas Staier e Alexei Lubimov. Si esibisce regolarmente con importanti ensemble quali i Freiburger Barockorchester, il Concerto Köln, l’Akademie für Alte Musik di Berlino e l’Orchestre des Champs-Élysées.
Come solista Alexander Melnikov ha suonato con importanti orchestre tra cui l’Orchestra del Royal Concertgebouw di Amsterdam, la Gewandhaus di Lipsia, la Philadelphia Orchestra, la NDR Sinfonieorchester, la HR-Sinfonieorchester, la Russian National Orchestra, i Münchner Philharmoniker, la Filarmonica di Rotterdam, la BBC Philharmonic e la Sinfonica NHK di Tokyo e con direttori del calibro di Mikhail Pletnev, Teodor Currentzis, Charles Dutoit, Paavo Järvi, Philippe Herreweghe e Valery Gergiev.
Insieme ad Andreas Staier, Alexander Melnikov ha sviluppato un progetto in cui vengono proposti estratti del Clavicembalo Ben Temperato di Bach (eseguiti da Andreas Staier) in un dialogo musicale con i 24 Preludi e Fughe di Shostakovich (eseguiti da Alexander Melnikov). Inoltre, i due artisti hanno recentemente registrato un programma incentrato sulla musica di Schubert scritta per quattro mani, che è stato poi anche presentato in concerto. Collaborazioni in ambito cameristico con artisti del calibro dei violoncellisti Alexander Rudin e Jean-Guihen Queyras e il baritono Georg Nigl costituiscono una parte essenziale della sua attività.
La sua collaborazione con l’etichetta discografica Harmonia Mundi è fiorita anche grazie alla sua partner di recital, la violinista Isabelle Faust, ed è culminata con la vittoria nel 2010 del Gramophone Award e dell’ECHO Klassik per la registrazione delle Sonate di Beethoven. Questo album ha ricevuto anche la nomination ai Grammy.
La loro registrazione più recente è una raccolta con le Sonate di Brahms.
La registrazione dei Preludi e Fughe di Shostakovich ha ricevuto numerosi riconoscimenti, tra cui il BBC Music Magazine Award, lo Choc de Classica e il Jahrespreis der Deutschen Schallplattenkritik; nel 2011, è anche stata nominata dal BBC Music Magazine come uno dei “50 Greatest Recordings of All Time.”
La sua discografia include inoltre opere di Brahms, Rachmaninov, Shostakovich e Scriabin. Insieme a Isabelle Faust, Jean-Guihen Queyras, Pablo Heras-Casado e i Freiburger Barockorchester, Alexander Melnikov ha inciso una trilogia di CD contenente i Trii e il Concerto di Schumann; il secondo album, con il Concerto e il Trio n. 2, è stato pubblicato nel settembre 2015.
La stagione 2015/16 vede il lancio del programma “The Man with the Many Pianos”, nel quale l’artista suona tre diversi strumenti a seconda dell’epoca di composizione dei brani proposti, e un ciclo Shostakovich con il Cuarteto Casals. Prosegue la collaborazione con la Mahler Chamber Orchestra, i Freiburger Barockorchester e la Tapiola Sinfonietta, orchestre di cui è partner fisso. Ulteriori appuntamenti includono concerti con la Camerata Salzburg e Louis Langrée alla Mozartwoche di Salisburgo, con la Seattle Symphony Orchestra e la Vancouver Symphony Orchestra, così come concerti alla Wigmore Hall di Londra, al Muziekgebouw di Amsterdam, al De Singel di Anversa, all’Opéra di Digione e al Palau de la Música Catalana di Barcellona.